Aljabar Linear Contoh

$x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = 5$ $2 x_{1} + x_{2} + 4 x_{3} = 24$ $5 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = - 14$

Langkah 1

Tulis sistem sebagai matriks.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 24 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 4 - 2 \cdot 2 & 24 - 2 \cdot 5 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]$

Langkah 2.2

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 3 - 5 \cdot - 3 & 1 - 5 \cdot 2 & - 14 - 5 \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

Langkah 2.3

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $\frac{1}{7}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $\frac{1}{7}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ \frac{0}{7} & \frac{7}{7} & \frac{0}{7} & \frac{14}{7} \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

Langkah 2.4

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 12 R_{2}$ untuk membuat entri di $3, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 12 R_{2}$ untuk membuat entri di $3, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 - 12 \cdot 0 & 12 - 12 \cdot 1 & - 9 - 12 \cdot 0 & - 39 - 12 \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 9 & - 63 \end{array}]$

Langkah 2.5

Kalikan setiap elemen $R_{3}$ dengan $- \frac{1}{9}$ untuk membuat entri pada $3, 3$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan setiap elemen $R_{3}$ dengan $- \frac{1}{9}$ untuk membuat entri pada $3, 3$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 63 \end{array}]$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Langkah 2.6

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ untuk membuat entri di $1, 3$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ untuk membuat entri di $1, 3$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 3 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 7 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 9 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Langkah 2.7

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 9 + 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Langkah 3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x_{1} = - 3$

$x_{2} = 2$

$x_{3} = 7$

Langkah 4

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan terurut, jadi sistem tersebut benar.

$(- 3, 2, 7)$